Fonctions exponentielles de base a - Activité

Prérequis   Maîtriser le cours sur la notation $a^{\frac{1}{n}}$ .

En hiver, une tasse de thé est préparée à une température de 80 °C puis laissée à l'extérieur où la température est de 0 °C. On s'intéresse à l'évolution de la température $T$ de la tasse au cours du temps.

Partie A   Modélisation discrète

La température de la boisson est mesurée toutes les 5 minutes. Soit $T_n$ la température du thé, exprimée en degré Celsius, lors de la $n$ -ième mesure.

La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser l'évolution de la température $T_n$ . Elle  stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. Dans les conditions de l'expérience, elle s'écrit pour tout entier naturel $n$ :

                                                    ${\displaystyle \frac{T_{n+1}-T_n}{T_n}}=-0,63.$

1. Démontrer que la suite $(T_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,37$ .

2. Exprimer $T_n$ en fonction de $n.$ Selon ce modèle, quelle est la température du thé au bout de 15 minutes ?

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de la suite $(T_n)$ . Permet-elle de lire  la  température du thé au bout d'une minute dans le froid ? Pourquoi ?

4. Après avoir imprimé cette représentation graphique, construire  une courbe passant par les points repérés. En déduire une valeur approchée de $T_{\frac{1}{5}}$ , température du thé au bout d'une minute.

5. Expliquer pourquoi  $T_{\frac{1}{5}}=T_0\times (0,37{)}^{\frac{1}{5}}$ . Est-ce cohérent avec le résultat obtenu à la question précédente ?

Partie B   Modélisation continue

Dans cette partie, on pose : $(0,37{)}^{\frac{1}{5}}\simeq 0,82$ .

1. En reprenant la méthode de la question A.5, prouver que la température du thé au bout d'une seconde d'exposition au froid est approximativement égale à : $80\times (0,82{)}^{\frac{1}{60}}$ .

2. On dispose d'un thermomètre électronique permettant d'enregistrer en continu la température du thé. Que représente alors la fonction  $f$ définie par  $f(x)=80\times (0,82{)}^x$ ?

3. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0;+\mathrm{\infty }[$ , ainsi que les premiers termes de la suite $(T_n)$ . Que peut-on constater ?